José Carlos Parente
Post convidado
Neste estudo matemático objetivamos responder três perguntas relativas à epidemia pelo vírus SARS-CoV-2:
1 – A transmissão do vírus SARS-CoV-2 ocorre exponencialmente?
2 – Em quanto tempo se dá o pico de casos e mortes da Covid-19?
3 – Em quanto tempo a epidemia se extingue?
Os dados utilizados neste estudo constam da base de dados da Organização Mundial de Saúde (2). Analisamos o comportamento do crescimento do contágio pelo vírus SARS-CoV2, assim como a evolução dos casos e mortes confirmados em doze países (Alemanha, Brasil, Canadá, Coréia do Sul, Espanha, Estados Unidos, França, Holanda, Israel, Itália, Reino Unido e Suécia) para responder às perguntas acima.
Foi observado que o crescimento do contágio não apresenta um comportamento exponencial em nenhum dos países analisados, mas um comportamento polinomial de ordem dois que é comum a todos eles.
O número de casos e de mortes confirmados também segue o mesmo comportamento polinomial de ordem dois, sendo observado que este padrão polinomial é independente do país e de o país ter adotado ou não medidas governamentais restritivas ao ir e vir.
O intervalo de pico da epidemia é atingido, na média, em seis semanas, e a extinção da epidemia, também na média, também em seis semanas a partir do final do intervalo de pico. Em nenhum dos onze países analisados foi observado aumento significativo no número de casos e mortes diários quando o intervalo de pico é alcançado. Os resultados indicam que o comportamento polinomial de ordem dois é um padrão mundial para a contaminação do SARS-CoV-2 e a evolução da Covid-19.
Dos resultados observados nos onze países é possível afirmar que o Brasil ingressou nos intervalo de pico de novos casos de contaminação diária pelo SARS-CoV-2 e de novas mortes diárias pela Covid-2, e que na primeira quinzena de junho a epidemia terá cessado completamente.
SISTEMÁTICA DE ANÁLISE
A sistemática que utilizaremos no desenvolvimento do estudo matemático será a de analisar os dados na busca de resposta para cada uma das perguntas.
1. A transmissão do vírus Sars-COV-2 ocorre exponencialmente?
Nas discussões iniciais a respeito da transmissão do novo coronavírus, denominado de SARS-CoV-2 (do inglês Severe Acute Respiratory Syndrome CoronVirus 2 com tradução Síndrome Respiratória Aguda Grave do Coronavírus 2) muito se falou sobre seu suposto “crescimento exponencial”.
A principal característica de um comportamento exponencial é o fato de sua taxa de crescimento não ser constante, ou em palavras mais coloquiais, a sua “velocidade” de crescimento não é constante. Exemplificando: se o crescimento de contaminados por SARS-CoV-2 se comportasse exponencialmente, teríamos mais de 1,2 milhão de pessoas contaminadas duas semanas após uma única primeira contaminação.
Evidentemente, não foi isto o que ocorreu em nenhum dos países analisados. Portanto, nada mais claro que afirmar que o comportamento da contaminação por SARS-CoV-2 não é exponencial. Mas qual é, então, o seu comportamento?
As Figuras 1 e 2 abaixo mostram o número de casos diários confirmados no Brasil e na Itália (eixo vertical), juntamente com duas curvas cujas taxas de crescimento são 20% (linha vermelha) e 35% (linha verde) para o Brasil e 25% (linha vermelha) e 40% (linha verde) para a Itália, em função do número de semanas, no eixo horizontal.
No início da epidemia no Brasil, até a segunda semana de contágio, o crescimento deu-se a taxas elevadas, em torno de 50%. A partir de então o crescimento do contágio se desenvolveu em “velocidades” crescentes, mas com taxas menores – na sexta semana a taxa de contágio foi de cerca de 20%.
Na Itália, apesar de apresentar o mesmo comportamento, as suas taxas de crescimento foram maiores o que fez com que lá o pico da epidemia fosse atingido em um menor tempo.
Outra abordagem que mostra que o crescimento do contágio por SARS-CoV-2 não se comporta exponencialmente é analisar a taxa relativa diária de novos casos. As Figuras 3 e 4 abaixo mostram essa taxa para o Brasil e para um conjunto de cinco países (Canadá, Estados Unidos, Espanha, Holanda e Suécia). No eixo vertical tem-se o percentual de crescimento relativo diário de casos e no eixo horizontal o número de semanas a partir da data da consolidação dos primeiros casos em cada país.
Este percentual é obtido da relação entre os casos a cada dia e o acumulado de casos até aquele dia. Observa-se o mesmo comportamento de decréscimo da taxa diária relativa de novos casos nos seis países. A taxa diária de casos cai a cerca de dez por centos (10%) na quinta (5ª) semana. Este decréscimo da taxa é mais uma indicação de que o crescimento da contaminação do novo coronavírus não é exponencial.
Então, qual é o comportamento do contágio?
Na Figura 5 ao lado é mostrado o gráfico com o número de casos diários (eixo vertical) em função da data a partir da qual foram registrados os primeiros de casos de infecção pelo SARS-CoV-2.
Nesta Figura 5, a linha em azul representa os dados reais de casos diários no Brasil, enquanto a linha preta é o ajuste matemático da curva de casos reais, com um nível de concordância entre as curvas maior que 94%. O ajuste matemático da curva de casos diários para o Brasil é uma função polinomial de segundo grau.
Que comportamento matemático os dados dos demais países segue? Esses países também seguem o comportamento polinomial?
Antecipamos a resposta: os demais países analisados também mostram o mesmo comportamento polinomial que no Brasil. Para exemplificar as Figuras 6 (Canadá), 7 (Israel), 8 (Reino Unido) e 9 (França) mostram as correspondentes curvas de casos diários e ajustes polinomiais correspondentes.
Resposta da pergunta nº 1.
O crescimento da contaminação diária por SARS-CoV-2 no Brasil, e também outros onze países analisados, não se comporta exponencialmente; o seu crescimento se processa de acordo com uma função polinomial de segundo grau. Significando que, no início da pandemia houve um rápido crescimento e, com o tempo, a taxa de crescimento vai reduzindo na medida em que se aproxima do pico.
2. Em quanto tempo se dá o pico de casos e mortes da COVID-19?
Iniciaremos com um esclarecimento sobre o que significa pico da epidemia. Aqui esta palavra não tem o mesmo significado que na Matemática, onde pico é o ponto de valor maior que seus vizinhos, os anteriores e os posteriores. Em se tratando de epidemia o pico é um período de tempo em que os casos e as mortes não crescem substancialmente, mas oscilam. Um termo mais apropriado a usar seria “patamar da epidemia”. Neste trabalho usaremos o termo “intervalo de pico”.
Vamos iniciar a análise considerando o comportamento de novos casos e mortes diários que ocorrem no Brasil.
As Figuras 10 e 11 abaixo mostram a evolução diária dos casos e mortes confirmados para o Brasil.
Os dois conjuntos de dados são bem ajustados com funções polinomiais de segundo grau, apresentando o nível de concordância maior que 94%. Em ambas as curvas há inicialmente um rápido crescimento de novos casos e mortes diários que vai diminuindo à medida que o tempo transcorre. Observamos que na sétima (7ª) semana os novos casos diários crescem com menor incremento para o intervalo de pico da curva (Fig.10), enquanto as novas mortes diárias também tendem para o intervalo de pico da curva na sexta (6ª) semana.
Agora outra pergunta: qual foi o comportamento dos casos e mortes diários nos demais países analisados?
Observamos nos países que analisamos o mesmo comportamento polinomial. As Figuras 12(a) e 12(b) mostram o comportamento de casos e mortes diários nos Estados Unidos; as Figuras 13(a) e 13(b) na Espanha e as Figuras 14(a) e 14(b) na Suécia.
Para estimar em que dia ocorre o intervalo de pico dos casos ou de mortes é suficiente determinarmos o dia em que a curva de ajuste polinomial muda a sua taxa de crescimento de positiva para negativa. Ou seja, o dia em que o número de casos e mortes diários começa a diminuir, ao invés de continuar a crescer. Na verdade, como referido antes, não se observa um pico em dado dia, mas um intervalo de dias em que o número de casos e de mortes oscila formando um patamar aproximadamente constante. Este patamar oscilante está presente em todos os países.
Nos Estados Unidos o intervalo do pico se estendeu em torno de 18-19 de abril (aproximadamente sete semanas do início dos registros de casos) e apresentou neste intervalo uma “oscilação” com tendência de decrescimento, em ambos, nos novos casos e novas mortes. O intervalo de pico das mortes nos EUA ocorreu cerca de uma semana depois. Na Espanha o intervalo de pico foi mais longo que o dos EUA, mas apresentou uma maior tendência oscilante de queda no número de casos e de mortes.
Na Espanha os intervalos de pico de casos e mortes aconteceram quase simultaneamente e se iniciaram seis semanas após o início dos casos. O comportamento de casos e mortes na Suécia seguiu o mesmo padrão, com a diferença que os seus intervalos de pico de casos e mortes diários foram mais longos. A Itália segue o padrão polinomial e o seu intervalo de pico foi atingido em cinco semanas.
Da análise realizada uma característica comum aos doze países se destaca: não houve um aumento substancial no crescimento do número diário de mortes, uma vez iniciado o intervalo de pico. Ao invés disso, observou-se que as mortes diárias crescem até atingirem o intervalo de pico e, uma vez alcançado este patamar, o número de mortes para de crescer e evolui com pequenas oscilações. Foi observado que o intervalo de pico de mortes diárias se estende de uma a duas semanas.
2.1. O CASO BRASIL
Tomando como base os resultados de países que já passaram pelo intervalo de pico – ou nele se encontram – vamos inferir o início do intervalo de pico para o Brasil e sua duração.
Na Figura 10 observamos que o crescimento no número de casos diários no Brasil evolui a taxas cada vez menores que nos demais países. Por isso ocorreu um longo tempo para alcançar o intervalo de pico do contágio. Apesar deste retardo, o comportamento polinomial do número de casos diários é semelhante ao que ocorreu nos demais países o que nos permite inferir que estamos adentrando o intervalo de pico dos casos diários.
Do gráfico de mortes diárias para o Brasil (Figura 11), semelhantemente ao gráfico de casos diários, observa-se que também ocorreu um alongamento do tempo, o que nos permite inferir, a partir do comportamento polinomial semelhante aos demais países que o Brasil está adentrando o intervalo de pico de mortes diárias, após quase sete semanas, desde as primeiras mortes ocorridas.
Resposta da pergunta 2.
O intervalo de pico da epidemia é alcançado, na média, em seis semanas após o início dos primeiros casos da Covid-19, enquanto o corresponde às mortes ocorrem em média em cinco semanas. No caso do Brasil, os resultados da análise de semelhança do comportamento polinomial em todos os doze países indicam inferir que estamos no início de nosso intervalo de pico de novos casos e novas mortes. Em média o intervalo de pico tem sido de três semanas, com tendência de decréscimo em torno do décimo dia.
Um aspecto relevante da análise é que o padrão polinomial de casos e mortes diários não é exclusivo de um determinado país, mas parece ser um fenômeno mundial, cujo padrão de comportamento é polinomial de grau dois.
E mais surpreendente é que este padrão polinomial independe de adoção ou não de medidas de bloqueio e isolamento: a Itália, onde foi imposto um bloqueio severo apresenta mesmo padrão polinomial que a Suécia, onde não houve qualquer bloqueio.
3. Em quanto tempo a epidemia se extingue?
A resposta a esta pergunta segue a mesma análise realizada para determinar o intervalo de pico. Devido o caráter simétrico do comportamento polinomial de grau dois podemos inferir que o ocaso da epidemia se daria no dobro do tempo que levou para atingir o pico. Ocorre, conforme já explicado na análise da pergunta dois que não se trata de um pico pontual, mas um intervalo de tempo onde os novos casos e mortes oscilam em torno de um patamar praticamente constante.
A partir dessas considerações e das observações do comportamento polinomial podemos inferir que o ocaso da pandemia ocorrerá no mesmo número de semanas que levou para atingir o intervalo de pico, a partir do final desse intervalo. Ou seja, ocorre o crescimento polinomial até atingir o intervalo de pico, que se mantem aproximadamente constante, para em seguida ocorrer o decréscimo polinomial simétrico ao crescimento – formato de uma tigela emborcada!
Resposta da pergunta 3.
Considerando análise baseada no comportamento polinomial do crescimento do número de novos casos e novas mortes, na quase estabilização dos casos e mortes no intervalo de pico, assim como o caráter simétrico do decrescimento de novos casos e mortes, o Brasil estará “livre” desta epidemia na primeira quinzena de junho.
A ideia deste estudo foi inspirada em reportagem do jornal Time of Israel que entrevistou o Professor e Matemático Isaac Ben-Israel sobre o seu trabalho relacionado à expansão e extinção da epidemia do novo coronavírus. O trabalho do Professor Isaac Ben parece utilizar conceitos matemáticos mais sofisticados que os utilizados em meu trabalho, que faz uso apenas de Matemática elementar.
https://www.timesofisrael.com/top-israeli-prof-claims-simple-stats-show-virus-plays-itself-out-after-70-days/ https://www.timesofisrael.com/the-end-of-exponential-growth-the-decline-in-the-spread-of-coronavirus/
https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019/situation-reports/
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