Com a evolução da epidemia da COVID-19, os meios de comunicação têm veiculado uma enxurrada de análises e de modelos matemáticos com os mais diversos diagnósticos e prognósticos. No entanto, faltam ferramentas que ajudem às pessoas que não tem formação científica a acompanhar a evolução e disseminação da pandemia. Esse trabalho foi escrito com o intuito de preencher essa lacuna. No entanto, faz-se necessário esclarecer que esse não é um trabalho científico, não se baseia em nenhum modelo em particular e não pretende fazer previsões de longo ou médio prazo para a evolução da epidemia, nem tampouco tem qualquer capacidade de prever quando ocorrerá o pico da epidemia – nem localmente nem, muito menos, globalmente. No entanto, como ficará claro a seguir, ele pode ser útil tanto para fazer previsões de curto prazo, como para avaliar se uma determinada região está, ou não, se aproximando do pico epidêmico.
EPIDEMIA e JUROS COMPOSTOS
O primeiro ponto a se ressaltar é que, na fase de expansão de uma epidemia, o processo de disseminação do vírus pode ser descrito de forma semelhante a do processo de crescimento por juros compostos. O número total de casos em um determinado momento pode ser associado ao Capital (C) investido; a taxa de crescimento em um determinado período seria os juros e o número total de casos ao final de um número N de ciclos corresponderia ao Montante acumulado. Assim, ele obedece à equação M = C*(1+j)N. Na verdade, uma forma mais geral seria: C(t+N) = C(t)*(1+j)N.
Ressalte-se aqui que esse comportamento é exclusivo da fase de expansão e que a taxa de juros não é necessariamente uma constante, ela pode variar por vários fatores, dentre eles, efeito de medidas de isolamento, mudanças climáticas e, principalmente, saturação do número de pessoas suscetíveis à contaminação. Este último fator é importante por ser o único que é irreversível no curto e médio prazo (considerando uma imunização eficaz) e ele caracteriza a saída da fase de expansão. Dessa forma, quando a mudança nessa taxa de crescimento (juros) passa a ser fortemente influenciada pela quantidade de pessoas suscetíveis, a análise aqui descrita deixa de valer.
Outro fator relevante a ser ressaltado é que, para o caso de juros compostos com uma taxa constante, o montante acumulado, após um único período (N=1), é C(t+1) = C(t)*(1+j), o que significa que a taxa de juros, nesse período, pode ser calculada como j(t) = [C(t+1)-C(t)]/C(t). Por esse motivo, uma forma interessante de analisar a evolução de uma epidemia durante a fase de expansão é através de um gráfico do crescimento percentual do número de casos com o tempo. No caso de um crescimento a juros constantes, esse gráfico deve ter a forma de uma linha horizontal. O valor dessa constante corresponde exatamente à taxa de juros.
Essa observação tem duas consequências práticas importantes. A primeira delas é que, a partir desse gráfico, se pode verificar facilmente se o crescimento é exponencial ou se segue algum outro tipo de forma. Nele, linhas horizontais referentes a valores positivos indicam que, naquele período, o crescimento é exponencial (juros compostos). A outra vantagem é que, mesmo nos casos em que a taxa de juros varie, podemos observar a evolução desse valor e avaliar se ele está indo na direção de desaceleração, chegando próximo de zero, ou de aceleração, permitindo verificar os efeitos de possíveis ações mitigadoras.
Por outro lado, quando a epidemia se aproxima de sua fase de saturação, seja essa saturação natural (no caso da imunização da comunidade) ou induzida por medidas atenuantes, o número de novos casos passa a ter a forma de um pico que chega a um máximo e depois passa a diminuir. Isso é caracterizado por uma taxa de juros decrescente, se aproximando de zero e até se tornar negativa (o número de novos casos e novas mortes diminui).
CONCEITUAÇÃO MATEMÁTICA E VISUAL
Mostra-se na Figura 1, quatro possíveis comportamentos para o número de novos casos. A curva em amarelo, que é a derivada da função logística – usada para descrever o comportamento da disseminação livre dos vírus – representa o comportamento esperado para o número de novos casos em uma epidemia [1]. As curvas em azul e laranja representam o crescimento exponencial e o crescimento na forma de juros compostos, mostrando que ambas funções conseguem capturar o crescimento epidêmico na fase de expansão.
Para comparação, mostramos também uma função normal (gaussiana) que, por sua forma de pico, tem também sido usada para representar, de forma aproximada, a evolução da epidemia, principalmente quando sob o efeito de ações mitigadoras. É válido recordar que, conforme discutido anteriormente, os crescimentos exponencial e por juros compostos só são válidos no início do processo, já que elas preveem um crescimento constante, algo incompatível com a finitude do número de pessoas que podem ser afetadas.
Em seguida, mostramos na Figura 2 o crescimento percentual de cada uma das curvas mostradas anteriormente. Primeiramente, nota-se que tanto o crescimento exponencial como aquele a partir de juros compostos aparecem nessa figura como linhas horizontais – conforme discutido na sessão anterior. Já o comportamento “natural” da epidemia, em amarelo, se caracteriza por um início no qual a curva é quase horizontal, mas depois começa a inclinar para baixo, até se tornar praticamente uma reta decrescente em direção à zero. A partir desse momento, a epidemia passa a se dirigir ao seu fim, com o número de novos casos diminuindo gradativamente (crescimento percentual negativo). Por fim, evidenciamos também o caso do comportamento da função normal. Nota-se que o crescimento percentual da função normal é uma reta decrescente com inclinação fixa.
A partir desses gráficos, afere-se que uma forma de acompanhar a epidemia é observar o crescimento percentual do número de novos casos em função do tempo. Enquanto esse crescimento percentual se comporta como uma constante, ou seja, uma reta horizontal, pode-se dizer que a epidemia está ainda na fase de expansão, podendo ser descrita como um crescimento por juros compostos. Pode-se também observar que a redução gradual dessa taxa de crescimento, ou seja, da taxa de juros efetiva, significa que a epidemia está seguindo em direção ao seu máximo de novos casos. Não há uma forma clara de saber, a priori , se essa redução da taxa é natural ou induzida.
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O COVID-19
Sabe-se que o vírus responsável pela COVID-19 tem algumas características bem relevantes. A primeira delas é a de que cerca de 80 a 90% dos infectados são assintomáticos ou tem sintomas muito leves, os quais levam à subnotificação dos casos.[2] Dessa forma, o número exato de assintomáticos é difícil de ser encontrado, inviabilizando a análise da disseminação do vírus. Estima-se que no Brasil, o número de infectados seja cerca de 10 vezes maior do que o número de casos registrados.[2,3]
Sabe-se também que, mesmo nos casos em que os sintomas aparecem, eles demoram cerca de uma a duas semanas para se manifestar. Dentre os que manifestam sintomas, somente uma pequena fração apresenta complicações mais graves, que necessitam de atenção especial e, destes, uma parcela considerável vem a falecer. Esse atraso entre o contágio e a manifestação de sintomas adiciona mais um problema na análise da evolução da doença, já que, considerando que os testes são realizados, principalmente, em quem já tem algum indício de ter contraído a doença, qualquer mudança no número total do contágios leva de uma a duas semanas para ser notado na estatística dos números de casos confirmados. Da mesma forma, se espera também um atraso de aproximadamente um mês para que mudanças na contaminação sejam observáveis entre o número de mortos contabilizados.
APLICAÇÃO PARA O CASO DO CEARÁ
Finalmente, nos casos em que a taxa de juros permanece aproximadamente constante, se torna possível fazer algumas previsões de CURTO PRAZO e a avaliação de possíveis cenários futuros.
Vamos aplicar essa metodologia para a acompanhar a evolução do número de mortes CONFIRMADAS no Estado do Ceará em função do dia de CONFIRMAÇÃO. A escolha pelo número de mortes, ao invés do número de casos, se dá pelo fato de que há sabidamente um grande problema de subnotificação dos casos[2]. Além disso, serão analisados os dados de uma média móvel com amplitude de 7 dias. Essa média é necessária para mitigar os problemas relacionados ao atraso na confirmação e notificação das mortes.
É importante salientar que ao usar o número de mortes para avaliar a evolução de uma epidemia se está fazendo duas considerações que podem não corresponder à realidade. A primeira é a de que a taxa de mortalidade real é aproximadamente constante e a segunda é a de que não há mudanças na política de aferição das mortes.
Dessa maneira, observa-se, na figura, em laranja, a linha que representa o número médio de mortes em cada dia e, em cinza, o crescimento percentual médio diário que – conforme explanado – corresponde à taxa de juros média naquele período. Finalmente, mostra-se, em azul, os valores dos novos óbitos computados em cada um dos dias.
Detendo-nos na linha cinza, nota-se que existem, aparentemente, 3 períodos nos quais a taxa de crescimento esteve aproximadamente constante. O período inicial, indo até 9 de abril, com taxas de crescimento na ordem de 30% ao dia, um período intermediário – indo de 10 a 18 de abril – com crescimento de aproximadamente 15% ao dia e um terceiro período, se iniciando no dia 19 de abril e indo até o dia 8 de maio, com uma taxa constante e estável entre 9% e 10% ao dia.
É complicado avaliar o primeiro período pois, como o número de mortes diárias era muito reduzido, um pequeno aumento no número de mortes aparece como um crescimento proporcional muito grande, introduzindo erros que prejudicam a análise. Já o segundo período parece comportar um número razoavelmente grande de dias, com um taxa razoavelmente estável de crescimento no número de mortes. Considerando que o início da quarentena no Estado de Ceará ocorreu a partir de 18 de março, espera-se que os efeitos dessas medidas de isolamento social só sejam percebidos na evolução do número de mortes a partir de meados de abril.
Nota-se então que o crescimento à taxa de 15% ao dia se deu exatamente nesse período, o que pode ser indicativo de que essa é a taxa de crescimento natural do vírus no nosso Estado. Isso significa que é possível, muito embora longe de ser estar confirmado, que a subsequente queda na taxa de crescimento de 15% para 10% ao dia seja exatamente o resultado das medidas de isolamento impostas pelo Estado em meados de março.
FAZENDO PROJEÇÕES
Uma vantagem de se olhar a evolução da epidemia em termos de um crescimento por juros compostos é que se torna natural, mesmo para pessoas sem formação científica, fazer algumas projeções de curto prazo e a avaliação de diferentes cenários.
Por exemplo, no caso do Ceará, é possível fazer uma projeção do número de óbitos diários para alguns cenários diferentes. Usando o cálculo de juros compostos e considerando cenários com a taxa de juros constantes de j=10%, 8%, 6% ou 4% se pode calcular o número de óbitos diários registrados no Ceará em 30 dias, conforme mostrado na Figura 4. Entende-se então que, se a taxa de crescimento diminuir gradualmente de 10% para 4% durante esse período, o número de óbitos diário ao final 30 dias será um valor intermediário entre as quase 800 mortes/dia projetadas no cenário de j=10% e as cerca de 200 mortes/dia calculadas para j=4%. Uma redução mais drástica pode diminuir ainda mais o número de mortes diárias, minorando o número de vidas perdidas para a epidemia.
Já para a estimativa do número total de óbitos, a análise – na fase de expansão – pode ser feita de forma bem semelhante. Se a taxa de crescimento se mantiver aproximadamente constante, o número total de mortos deve obedecer também uma equação de juros compostos onde o capital inicial e o montante final analisados são, agora, o número acumulado de óbitos e não mais o número de óbitos por dia.
Ressalte-se, no entanto, que, se a taxa de juros variar muito no período analisado, os resultados finais podem ser bem sensíveis ao histórico da variação. Isso porque variações diárias no crescimento proporcional do número total de casos tem efeito cumulativo. Isso adiciona uma dificuldade a mais na análise desse número e, por esse motivo, pensamos ser mais interessante focar a avaliação da crise na evolução do número de novos óbitos ou de novos casos, ao invés de observar o número acumulado.
QUANDO SABEMOS QUE A EPIDEMIA TERMINOU?
O término natural de uma epidemia só ocorre quando uma parcela relevante (entre 20% e 80%) da população está imunizada. Sendo assim, mesmo que se consiga reverter a curva de crescimento levando para uma situação de “juros” negativos, isso não significa que a epidemia está permanentemente terminada. Esse fato nos ajuda a avaliar se uma determinada redução na taxa de crescimento (juros) do número de novos óbitos está se dando como resultado da evolução natural da epidemia ou se é consequência de medidas de mitigação dessa evolução. Conforme discutido, no caso da epidemia de COVID-19, essa análise é dificultada pelo fato de que uma porcentagem bem pequena dos casos é efetivamente registrada, de modo que há um grande número de pessoas que foram infectadas, estão imunizadas, e que é desconhecido. Usando como estimativa que existem cerca de 10 vezes mais pessoas infectadas do que o número de casos registrados [2,3] e considerando, por exemplo, a população do Estado do Ceará como sendo de 9 milhões de habitantes, é razoável concluir que uma diminuição da taxa de crescimento do número de óbitos só poderá ser considerada como sendo consequência da evolução natural da epidemia se o número total de casos registrados no estado for da ordem de 90.000 casos. Isso significaria que teríamos cerca de 900.000 pessoas efetivamente infectadas, correspondendo a 10% da população. Uma análise parecida pode ser feita no caso do Brasil, levando a que só se pode pensar em considerar que a redução no número de casos é definitiva quando tivermos cerca de 1 milhão de casos registrados.
CONCLUSÕES
Apresentamos uma metodologia para analisar a evolução da epidemia de COVID-19 acessível para pessoas que não tenham formação científica específica. Para isso, mostramos que a taxa de crescimento percentual do número de mortes (ou de casos) pode ser diretamente relacionada a uma taxa de juros compostos. Mostramos também que, se essa taxa se mantém constante e positiva, significa que a epidemia está em pleno crescimento, e que a diminuição gradual da taxa de juros é um sinal de que a epidemia está ficando controlada.
Finalmente, discutimos como essa associação com a taxa de juros permite a projeção da evolução da epidemia, no curto prazo, para cenários definidos e exemplificamos o processo, tomando por base o caso do Estado de Ceará. Ressalta-se, porém, que esse trabalho não visa a substituir a análise por modelos matemáticos mais precisos, que possam incorporar informações específicas e, com isso, permitir fazer previsões de médio e longo prazo.
[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_log%C3%ADstic a.
[2] https://www.worldometers.info/coronavirus/coronavirus-symptoms /
[3] https://ciis.fmrp.usp.br/covid19-subnotificacao /
APÊNDICE: Os 250 do Dr. Cabeto
Um evento marcante da história da disseminação da COVID-19 no Ceará foi a divulgação, pelo Secretário de Saúde de Ceará (Dr. Cabeto), de uma previsão “catastrófica”, segundo a qual o número de mortes diárias em Fortaleza chegaria a 250 mortes/dia em meados de maio. Embora não se saiba ao certo qual o modelo utilizado pelo Secretário para fazer essa estimativa, observa-se que, à época do pronunciamento (14/04), o número de mortes diárias era da ordem de 10 mortes e a taxa de crescimento era de 15%. Um cálculo simples mostra que, se essa taxa tivesse se mantido em 15%, o número de mortes diárias, no dia 15 de maio, deveria ser M(01/05) ~ 10 * (1+0,15)30 = 662 mortes/dia, o que é um número bem maior do que o projetado pelo Dr. Cabeto. Novamente, é importante salientar que a análise apresentada acima só seria válida, caso a taxa se mantivesse constante e igual a 15%, o que, como observado na Figura 4, não foi o caso. Ressalte-se, então, que esse cálculo não deve ser encarado como uma previsão do comportamento, mas como uma projeção futura a partir das condições atuais, algo muito comum de se fazer em economia.
Por quê essa projeção não se confirmou? Observando os dados, nota-se que, como discutido, a taxa de crescimento caiu para cerca de 10%. É como se, no meio do contrato, tivéssemos renegociado a dívida. Isso não reduz o crescimento anterior, mas leva a um valor final bem menor do que inicialmente projetado.
Essa nova taxa de crescimento de 10% é tranquilizante? Não! Apesar de ser muito melhor do que um crescimento diário de 15%, nota-se que a taxa estabilizou. Ou seja, não estamos mais conseguindo renegociar a nossa dívida e o montante devido deverá continuar a crescer rapidamente. Por exemplo, podemos fazer uma projeção rápida a partir dos novos números: considerando 50 mortes diárias em média na atualidade, com uma taxa de 10%, teremos, em 30 dias, M = 50 * (1,1)30 = 800 mortes diárias.
Novamente, essa projeção considera que a taxa não diminui em função do resultado do endurecimento das medidas de isolamento. Desse modo, caso a taxa seja reduzida, o que pode ser acompanhado diariamente, o número final pode ser muito menor. Por exemplo, se a taxa diminuir de 10% para 5%, ao dia, rapidamente, o número cai para para cerca de 200 óbitos diários.
Eduardo Bedê Barros – Bolsista Nível 1D do CNPq. Possui graduação em Física pela Universidade Federal do Ceará (2002), mestrado em Física pela Universidade Federal do Ceará (2003) e Doutorado em Física pela Universidade Federal do Ceará (2006). Realizou Estágio de Doutoramento Sanduíche no Massachusetts Institute of Technology (MIT) sob a orientação da Dra Mildred Dresselhaus (2005). Pós-doutorado no grupo do Prof. Riichiro Saito na Tohoku University, Japão(2007) e no grupo da Prof. Mildred Dresselhaus, no MIT (2013). Atuando principalmente nos seguintes temas: Nanotubos de carbono, espumas grafíticas, grafeno e materiais bi-dimensionais, transporte eletrônico, teoria de grupos, Espectroscopia Raman, Microscopia Eletrônica e de Força Atômica. Coordena o Laboratório de Microscopia Avançada (LMA) do Departamento de Física da UFC. Atualmente ocupa o cargo de Chefe do Departamento de Física e é Membro Afiliado à Academia Brasileira de Ciências no Período 2013-2017.
Luis Eduardo Fontenelle Barros – Economista (UFC 1974), com curso de mestrado em administração (UFMG 1976), com mais de 40 anos de experiência no mercado, especialmente na área financeira, gestão e planejamento, tendo atuado como executivo e como consultor independente.
